キーフレーズ

“rack one’s brain”　 頭をひねって考える

解説

難しい問題の解決策について知恵を絞って考えるときや、何かを覚えておこうと懸命に頭を使うときなど、何かしら「頭をフル回転で働かせる」という意味で使われる表現です。なお、この表現は、懸命に考えてもその結果が上手くいっていない状況でよく使われます。
加えて「なるほど英語」のこちら「知恵を絞る」も併せてご覧ください。

さらに使える表現

“puzzle over”　頭を悩ませる、頭をひねる
“hammer away at ～”　～にせっせと励む、～に奮闘する